Die Primzahlen sind sehr ungleichmäßig verteilt. Kann man eine mathematische Funktion angeben, die stets Primzahlen liefert?

Der französische Mathematiker Legendre fand Ende des 18. Jahrhunderts eine bemerkenswerte ganzrationale Funktion, die erstaunlich viele Primzahlen als Werte liefert. Er bemerkte, dass f(n) = n² - n + 41 für die Zahlen 0, 1, 2 bis 40 stets eine Primzahl liefert.

Also: f(0) = 41, f(1) = 41, f(2) = 43, f(3) = 47, f(4) = 53, …, f(40) = 1601. Jedoch f(41) = 41 x 41 = 1681 ist keine Primzahl!

Eine weitere, sehr einfache ganzrationale Funktion – ebenfalls von Legendre entdeckt – ist f(n) = 2n² + 29. Sie liefert für die Werte von 0 bis 28 stets Primzahlen: f(0) = 29, f(1) = 31, f(2) = 37, f(3) = 47 usw.

Leider kann man aber recht einfach beweisen, dass es keine ganzrationale Funktion gibt, die immer Primzahlen liefert.